Por que o resultado é um PNG transparente?
Porque um círculo dentro de um arquivo quadrado precisa deixar os cantos como nada. Se eles fossem preenchidos de branco, a imagem só pareceria redonda numa página branca e mostraria quatro triângulos claros em qualquer outro lugar. O PNG guarda um canal alfa, então os cantos ficam realmente vazios; o JPEG não tem canal alfa e não consegue guardar isso. Se você precisar do contrário, a opção “Fundo → Cor sólida” preenche os cantos com a cor que você escolher.
Enviei o arquivo para um site e os cantos ficaram brancos ou pretos. O que aconteceu?
Aquele site recodificou seu arquivo: normalmente para JPEG, que não tem como guardar transparência, então os cantos vazios foram achatados numa cor sólida. Não há nada de errado com o PNG em si: confira se o destino aceita PNG, ou aceite o achatamento se a plataforma já aplica uma máscara circular no avatar de qualquer jeito.
Que tamanho eu devo exportar para uma foto de perfil no WhatsApp ou no Discord?
Os dois aplicam a própria máscara circular a um envio quadrado, então o tamanho importa mais do que a forma. Uma exportação quadrada de uns 512 px (o maior preset da ferramenta) resolve bem nos dois: os apps exibem o avatar bem menor que isso, mas pedem uma cópia em resolução maior para telas nítidas. Um recorte de 96 px fica borrado assim que algo o mostra maior, e um avatar de 4000 px não traz nenhum ganho além de um upload mais pesado.
Minha imagem é enviada para algum lugar?
Não. A imagem é decodificada e o círculo é aplicado num canvas dentro do seu navegador, então a foto nunca sai do seu dispositivo e não há nada armazenado em servidor.