正方形のファイルの中に円を収める以上、四隅は「何もない」状態にするしかないからです。白で塗りつぶすと、白い背景の上でしか丸く見えず、それ以外の場所では明るい三角形が四隅に見えてしまいます。PNG はアルファチャンネルを保存できるので四隅を本当に空にできますが、JPEG にはアルファチャンネルがなく、それを保持できません。透明が困る場合は、背景を単色に切り替えて書き出せます。
そのサイトがファイルを再エンコードしたためです。多くは透明度を保存する手段のない JPEG に変換されるため、空だった四隅が単色で埋められます。PNG 自体に問題はありません。送り先が PNG を受け付けるか確認するか、背景を単色にして自分で色を決めたうえで書き出してください。プラットフォームがどのみちアバターを円形にマスクするのであれば、そのまま任せてもかまいません。
どちらも正方形のアップロードに独自の円形マスクをかけるため、形よりサイズのほうが重要です。出力サイズのプリセットにある 512 ピクセルがどちらにも無難な答えです。アプリが実際に表示するアバターははるかに小さいのですが、高精細な画面向けに解像度の高い元画像を要求します。128 ピクセルで書き出すと、少しでも大きく表示された瞬間にぼやけます。逆に 4000 ピクセルのアバターは、アップロードが重くなるだけで得るものはありません。
いいえ。画像のデコードと円形マスクの処理はブラウザ内のキャンバス上で行われるため、写真が端末から出ることはなく、サーバーに保存されるものもありません。